11 Sınıf Matematik Bir Doğruyu Paylaşmak İçten ve Dıştan Bölen Noktanın Koordinatları ş v 2

Konumuz “Bir doğruyu paylaşmak” ve özellikle içten ve dıştan bölen noktanın koordinatları. Analitik geometride verilen iki nokta A(x1, y1) ve B(x2, y2) arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktaları bulmak çok sık karşımıza çıkar. Bunun için “kesme oranı” ve “bölüm formülü” (section formula) kullanılır. İçten bölen nokta, A ile B arasında, dıştan bölen nokta ise bu doğru üzerinde ama segmentin dışında yer alır. A ve B noktalarını m:n oranında paylaştıralım. Burada m, P noktasına yakın olan uç noktayla (genellikle A) ilişkili payı; n ise diğer ucu (B) temsil eder. Daha basit bir ifadeyle AP:PB = m:n diyebiliriz. Bölen oran m/n olduğunda, içten bölen nokta A ile B’nin içinde, dıştan bölen nokta ise doğru üzerinde segmentin dışında olur. İçten bölen (iç bölüm) noktanın koordinatları: Px = (n·x1 + m·x2) / (m + n), Py = (n·y1 + m·y2) / (m + n) Dıştan bölen (dış bölüm) noktanın koordinatları: Px = (n·x1 − m·x2) / (n − m), Py = (n·y1 − m·y2) / (n − m) Önemli notlar: - Oranlar genellikle pozitif alınır. Negatif oran mantıksal zorluk çıkarır, o yüzden mümkünse m ve n pozitiftir. - Dış bölüm formülünde payda sıfırdan farklı olmalı; yani m ≠ n olmalı. - İç bölümde payda m + n > 0 olduğundan P her zaman A ve B arasındadır. - Geometrik olarak iç bölüm, A ile B’nin tam ortası için nokta doğurur; dış bölüm, noktayı A ile B’nin çizgisel uzantısında tutar. - Vektör bakışında, A ile B’nin birleşik vektörü içten bölmede P = (n·A + m·B) / (m + n); dıştan bölmede P = (n·A − m·B) / (n − m) olur. Örneklerle pekiştirelim. - Örnek 1: A(0, 0) ve B(12, 6). AP:PB = 2:1 içten bölen P: Px = (1·0 + 2·12)/(2+1)=8, Py=(1·0+2·6)/3=4. P(8, 4) bulunur. Eğer oran tam ortayı soruyor olsaydı P(6, 3) çıkardı. - Örnek 2: A(4, 0) ve B(12, 12). AP:PB = 3:1 içten bölen P: Px=(1·4+3·12)/4=10, Py=(1·0+3·12)/4=9. P(10, 9) elde edilir. Dıştan bölen P': m=n olmadığından m=3, n=1 alarak P'x=(1·4 − 3·12)/(1 − 3) = (−32)/(−2) = 16 ve P'y=(1·0 − 3·12)/(−2)=36/2=18. P'(16, 18) bulunur. - Örnek 3: A(−2, 1) ve B(8, 7). AP:PB = 2:3 içten bölen P: Px=(3·(−2)+2·8)/5 = 10/5=2, Py=(3·1+2·7)/5=17/5=3,4. P(2; 3,4). Dıştan bölen P': m=2, n=3 kullanarak P'x=(3·(−2) − 2·8)/(3 − 2)= (−22)/(1)=−22; P'y=(3·1 − 2·7)/(1)= −11. P'(−22; −11). Kontrol edelim: İç bölümde P, uç noktalar arasında, dış bölümde P' doğru üzerinde fakat segmentin dışında kaldı. Bu yöntemlerle hem koordinatları bulur hem de grafikte noktaların yerini yorumlarız. Analitik geometride “doğruyu paylaşmak” denince işte bu yazılmış oranlar ve formüller devreye girer. Pratik yapın; yeni örneklerle oranları değiştirin. Formül ezberlemek yerine mantığını anlamak, işlem hatalarını da azaltır.