11 Sınıf Matematik Fonksiyonları Dans Ettirmek fx±a, fx±b, k⋅fx, fkx, −fx, f

Fonksiyonları “dans ettirmek” derken, grafik üzerinde çeşitli “hareketler” yapıyoruz: yukarı-aşağı kaydırma, sola-saga sürükleme, esnetip sıkıştırma ve aynada ters çevirme. Biz bu dönüşümlere “dönüşümler” diyoruz ve yazı biçimleriyle çok net kontrol ediyoruz. Temel işlemler: - f(x) + a dikey kaydırma: grafiği dikey olarak “a” kadar yer değiştirir. Örnek: f(x) = x² + 3; grafiği 3 birim yukarı taşır. - f(x) - a dikey kaydırma: 3 birim aşağı. - f(x - b) yatay kaydırma: grafiği sağa “b” kadar taşır. Örnek: f(x) = (x - 4)² + 2; eğrinin tepe noktası (4, 2) olur. - f(x + b) yatay kaydırma: sola “b” kadar taşır. - k ⋅ f(x) dikey esneme: |k| > 1 ise dikey uzar, 0 < |k| < 1 ise dikey sıkışır; eksi k olursa y-eksenine göre simetri yapılır (örnek: f(x) = -x² dönüşü ile parabol aşağıya döner). - f(kx) yatay sıkıştırma/uzama: |k| > 1 ise yatay olarak sıkışır (yaklaşır), 0 < |k| < 1 ise yatay olarak uzar (açılır). Örnek: f(2x) x’te “2 kat daha hızlı” demek; f(0,5x) x’te “2 kat daha yavaş”. - −f(x) x-eksenine göre simetri (ters yüz); f(−x) y-eksenine göre simetri (aynalı döndür). Sıralama: Dönüşümler içeriden dışarıya doğru uygulanır. Önce f(x) içindeki “x → x − b” yatay kaymaları ve f(kx) yatay esneme/sıkıştırma; sonra dikey çarpımlar (k⋅f(x)) ve yansımalar (−f(x), f(−x)); en son dikey kaymalar (+/− a). Örnek: y = 3f(2(x − 1)) − 5. Açıklama: 1) x → 2(x − 1) = 2x − 2 ⇒ önce x’i 1 birim sağa al, sonra yatayda 2x ile k (2) sıkıştır (yani yatay ölçek 1/2). 2) 3f(...) dikeyde 3 kat uzama; −5 dikeyde 5 birim aşağı kaydırma. Gerçek bir vaka: Ana fonksiyon g(x) = (x − 2)² olsun. Dönüştürülmüş h(x) = −2g(3x − 6) + 1. Aynı içeriği “h(x) = −2g(3(x − 2)) + 1” diye açalım: - Yatay: x → 3(x − 2) ⇒ önce x’i 2 birim sağa taşı; sonra 3 ile yatay sıkıştır (ölçek 1/3). - Dikey: −2 çarpanı ile önce y-eksenine göre simetri al, sonra 2 kat uzat. - Son: +1 ile 1 birim yukarı. Bileşke olarak, tepe (dönüm) noktası (2, 0) konumundan yatay sıkışma ve dikey dönüşümlerle (y değerleri 2x ve yansıtılmış) “2, 1” konumuna çıkar; y-eksenine göre simetri nedeniyle başlangıçta sağda olan tepe noktası soluna dönebilir (genel resme bağlı). Kilit noktalar: - Yatay kayma parantez içine bakarsanız anlaşılır: f(x − b) sağa, f(x + b) sola. - Dikey kayma sadece fonksiyonun dışına (+/− a). - k ⋅ f(x): dikey; f(kx): yatay. Sıklaştırılan, uzayan taraf tam tersine göre “hızlı–yavaş” davranır. - −f(x) ile f(−x) farklı: biri x-eksenine göre, diğeri y-eksenine göre simetri yaratır. - Kombinasyonlarda iç-dış sırası kritik; fonksiyonun içindeki değişkenin (x) hangi dönüşümleri taşıdığını önce uygularız. Canlı örnekle pekiştirelim: f(x) = x². y = f(x − 3) + 2, tepeyi (3, 2) taşır. y = −3f(2x) − 4 ise: önce x koordinatında 2 ile yatay sıkışma; sonra dikeyde 3 ile uzatma ve aşağı çevirme (−3), en son 4 birim aşağı. Bu “dans” kurallarını içselleştirdiğinizde, hem doğru kavrayıp hem görsel hafızanızı oluşturursunuz; işlem sırasıyla, yatay–dikey karışmaz!