11 Sınıf Matematik Kirişlerin Özellikleri ve Çemberdeki Uzunluk İlişkileri şarkısı

Kiriş, bir çemberin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçasıdır. Çemberde kirişlerin uzunluğu, merkeze olan uzaklıkla ve görüntülenen yayla yakından ilişkilidir. Önce merkezden kirişe çizilen dikme teoremini hatırlayalım: bir çemberde merkezden bir kirişe çizilen dikme bu kirişi iki eş parçaya bölerek, bu yüzden kiriş uzunluğunu merkez uzaklığı ile ilişkilendiririz. Yarıçap r, merkez–kiriş uzaklığı d ise, yarım kiriş uzunluğu (yarısı) şu formülle bulunur: (AB/2)^2 + d^2 = r^2. Bu, Pisagor bağıntısının geometrideki görünümüdür. Daha sade söylersek: r^2 = d^2 + (c/2)^2, burada c kirisin tam uzunluğudur. Örnek verelim: r = 10 cm ve d = 6 cm ise, (AB/2)^2 = 10^2 − 6^2 = 64; yarım kiriş 8 cm, tüm kiriş 16 cm olur. Eğer d artarsa kiriş kısalır; d azalırsa kiriş uzar. Çap (merkezden geçen en uzun kiriş) r= c/2 formülüyle r = c/2’dir. Kirişler eş olduğunda eş merkezde çizilen dairelerde yayları da eşittir. Eş kirişlerin çevreledikleri merkez açıları ve yayları eş olduğu için açı–yay ölçüleri de eşlenir. Bu özellik, sorularda “iki kiriş eş mi” gibi durumları hızlıca çözmek için çok işlevseldir. Ayrıca aynı yayı gören kirişler de benzer hesaplamalara yönlendirir. Şimdi çemberde uzunluk ilişkilerini toparlayalım. Bir çemberde, merkez içinden geçen kesişen iki kiriş için uygulanan teorem şudur: kesişen iki kirişin her birinin kesişim noktası ile uç noktaları arasındaki parçaların çarpımları eşittir. Yani AB · BC = AD · DC gibi bir denklik kurarız. Bu, içten kesişen kirişlerin güçlü bir işaretidir ve yüzlerce soruda karşımıza çıkar. Eşitliğin sol ve sağ tarafında çarpımları kurduğunuzda, bilinmeyen uzunluk kolayca bulunur. İki noktadan dışarıya çizilen bir teğet ile bir kesen için güç noktası (kuvvet) teoremi geçerli olur: t^2 = x · y. Burada t, dış noktadan çizilen teğet uzunluğu; x ve y, dış noktadan kesen üzerinde oluşan parçaların toplamını ifade eden değerlerdir. Eğer iki kesen varsa x·y = u·v gibi bir denklik yine devreye girer. Bu denklikler, karmaşık görünen sorularda sayıları tek bir denkleme düşürür. Son olarak, bir kirişin merkeze göre yansıması başka bir yerde benzer bir kiriş yaratır; bu, simetri düşüncesini pratikle harmanlar. Bir de teğet–kesen ilişkisinde, teğetin çembere değdiği nokta ile kesenin uç noktası arasındaki bağ, üçgenlerin benzerliğini tetikleyebilir. Özetle, çemberde uzunluk ilişkileri dört temel hat üzerinde ilerler: merkez–kiriş dikme, içten kesişen kirişler, dıştan teğet–kesen, ve teğet–teğet. Bunları tek bir çerçevede hatırlayın: merkezden uzaklık, çarpımların eşitliği, teğetin karesinin toplamla eşitliği. Şarkı içinde bu formülleri tekrarlayın: r^2 = d^2 + (c/2)^2; içten kesişen kirişte AB·BC = AD·DC; dıştan t^2 = x·y. Her birini bir şarkı gibi ezberlemek, hem öğrenmeyi kalıcı kılar hem de sınavda zamandan tasarruf sağlar.