Matematik

11 Sınıf Matematik Olayların Etkileşimi Bağımlı ve Bağımsız Olayların Olasılık Hesabı ş

11. Sınıf • 02:38

Video görüntüsü içermez, sadece eğitim şarkısıdır. Dinlemek için oynatın.

İzlenme

02:38

Süre

14.10.2025

Tarih

Ders Anlatımı

İki olayın etkileşimini öğrenmek, olasılık hesaplarını doğru yapmanın temelidir. Bağımsız olaylarda bir olayın sonucu diğerini etkilemez; bağımlı olaylarda ise ilk sonuç ikincisinin olasılığını değiştirir. Bağımsız olaylar için çarpma kuralı P(A∩B) = P(A)·P(B) ile ifade edilir. Bağımlı olaylarda ise koşullu olasılık P(B|A) = P(A∩B) / P(A) kullanılır ve çarpma kuralı P(A∩B) = P(A)·P(B|A) biçiminde olur. Bu kısa ama güçlü kuralların tümünü aşağıdaki örneklerle pekiştirelim. Örnek 1: Madeni bir parayı iki kez atalım. “İlk atış tura” (A) ve “İkinci atış tura” (B) olayları bağımsızdır, çünkü ilk atışın sonucu ikinciyi etkilemez. P(A) = P(B) = 1/2 olduğundan P(A∩B) = 1/2 · 1/2 = 1/4 olur. Yani ardışık iki tura gelme olasılığı dörtte birdir. Örnek 2: Bir desteden iki kart art arda çekiyoruz ve çekilen kartı geri bırakmıyoruz. “İlk çekilen kırmızı” (A) ve “İkinci çekilen kırmızı” (B) olayları bağımlıdır; çünkü ilk çekim ikincisinin olasılığını değiştirir. 52 kartın 26’sı kırmızı olduğuna göre P(A) = 26/52 = 1/2’dir. İlk kart kırmızı geldiyse destede 25 kırmızı, toplam 51 kart kaldığından P(B|A) = 25/51 olur. Bu yüzden P(A∩B) = 1/2 · 25/51 = 25/102 olur. Görüldüğü gibi P(B|A) ≠ P(B) olduğundan olaylar bağımlıdır. Genel denge için P(B|A) = P(B) testini kullanabiliriz. Örnek 3: Bir torbadaki 3 mavi ve 5 kırmızı toplam 8 toptan art arda 2 top çekiyoruz, ilkini geri bırakmıyoruz. “İlk kırmızı” ve “İkinci mavi” olayları bağımlı olacak mı? Doğru soru her zaman “P(ikinci olay | birinci olay) birinci olayın sonucuna bağlı mı?” sorusudur. İlk kırmızı çekilirse geriye 3 mavi 4 kırmızı kalır ve P(mavi | kırmızı) = 3/7 olur; ilk kırmızı gelmemiş olsaydı (örneğin ilk mavi gelirse) bu olasılık değişirdi. Bu yüzden bu iki olay bağımlıdır. Karma durumlar ve pratik ipuçları: Bir deneyin sonuçları sayılabilir, bağımsız denemelerle tekrar edilebilir (bozuk para atışı gibi) ise bağımsız; örneklem azaldıkça olasılık değişiyorsa (çekilen kartlar gibi) bağımlı olmaya eğilimlidir. Her zaman P(A∩B) ve koşullu olasılık ilişkisini kullanın; şüpheye düştüğünüzde P(B|A) = P(A∩B)/P(A) bağlantısını kontrol edin. Ayrıca P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) formülünü gerektiğinde kullanın: “En az biri olsun” türü problemlerde kesişimi çıkardıkça hatadan kurtulursunuz.

Soru & Cevap

Soru: İki bozuk para atılıyor. Her ikisinin de tura gelme olasılığı nedir? Cevap: Olaylar bağımsız olduğundan P(A∩B) = P(A)·P(B) = (1/2)·(1/2) = 1/4. Soru: 52 kartlık bir desteden art arda iki kart çekiliyor, geri bırakılmıyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı nedir? Cevap: P(ikinci kırmızı | birinci kırmızı) = 25/51 olduğundan P(A∩B) = (26/52)·(25/51) = 25/102. Soru: 3 mavi ve 5 kırmızı toplam 8 toptan art arda 2 top çekiliyor, ilk çekilen geri konmuyor. İlki kırmızı, ikincisi mavi gelme olasılığı kaçtır? Cevap: P(A) = 5/8, P(B|A) = 3/7 olduğundan P(A∩B) = (5/8)·(3/7) = 15/56. Soru: P(A) = 0,2; P(B) = 0,3 ve P(A|B) = 0,5 veriliyor. A ve B olaylarının bağımsız olup olmadığını kontrol edin. Cevap: P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = 0,5·0,3 = 0,15. Bağımsız ise P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0,2·0,3 = 0,06 olmalı. 0,15 ≠ 0,06 olduğundan olaylar bağımlıdır. Soru: Bir zar atılıyor. “Tek sayı” (A) ve “2’den büyük sayı” (B) olaylarının bağımsız olup olmadığını belirleyin. Cevap: A={1,3,5}, B={3,4,5,6}. P(A)=3/6=1/2, P(B)=4/6=2/3, P(A∩B)={3,5}=2/6=1/3. P(A)·P(B)=(1/2)·(2/3)=1/3 olduğundan P(A∩B)=P(A)·P(B) ile olaylar bağımsızdır.

Özet Bilgiler

11. sınıf matematikte bağımsız ve bağımlı olayların olasılık hesabı ile olayların etkileşimi kavramları, TYT ve AYT sınavlarında sık sorulan bir konudur. Çarpma kuralı ve koşullu olasılıkla bağımsız–bağımlı ayrımını öğrenerek olasılık sorularını hızlıca çözebilirsiniz.