12 Sınıf Matematik Dizi kavramı, genel terim ve indirgeme bağıntısı şarkısı

Dizi, belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu sonsuz veya sonlu listeye denir. İndeks (indis) denilen n pozitif tam sayı olmak üzere, a1, a2, a3, ... gösterimi ile diziyi yazarız. Her n için an sayısını veren bağıntı, o dizinin genel terimidir. Genel terim an = f(n) biçiminde bir fonksiyon ya da bağıntıdır. Örneğin an = 3n − 2 genel terimi; a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7 şeklinde devam eden bir aritmetik dizi üretir. Bu şarkı dersinde, genel terimi bir ritim ve melodi eşliğinde içselleştirerek hatırlamayı kolaylaştıracağız. İndirgeme bağıntısı (rekürans bağıntısı), bir terimi ondan önce gelen bir ya da birkaç terim ile tanımlayan kuraldır. Örneğin an = 2an−1 − 1 bağıntısı, her terimi bir öncekinin iki katından 1 çıkarılarak bulunduğu anlamına gelir. Verilen ilk terimle (örneğin a1) birlikte indirgeme bağıntısı tüm terimleri üretir. Bazen bir dizi sadece indirgeme biçiminde verilir; bu durumda genel terimi bulmak için dizi toplamları ya da cebirsel özdeşlikler kullanırız. Şarkı kısmında, bir söz bölümünü indirgeme bağıntısına ayırarak, terimlerin nasıl tek tek inşa edildiğini hatırlatırız. Dizi türlerinden aritmetik ve geometrik diziler en çok karşılaştıklarımızdır. Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabittir; bu farka ortak fark denir ve d harfi ile gösterilir. Örneğin an = a1 + (n − 1)d genel terimi kullanılır; toplam formülü ise Sn = n(a1 + an)/2 veya Sn = n/2[2a1 + (n − 1)d] biçimindedir. Geometrik dizide oran sabittir; bu orana ortak çarpan denir ve r ile gösterilir. Genel terim an = a1r^(n − 1), toplam ise S_n = a1(r^n − 1)/(r − 1) (r ≠ 1) ya da r = 1 ise S_n = na1 olarak kullanılır. Şarkı sözlerini bu iki dizinin melodi katmanına yerleştirerek, formül içindeki sembolleri kulağa hoş ama anlamlı şekilde eşleştiririz. Dizilerde sınırlılık kavramını yüzeyde değinelim. Eğer tüm terimler belli bir sayıdan büyük değilse üstten sınırlıdır, küçük değilse alttan sınırlıdır. Her iki yönden sınırlı diziye sınırlı dizi denir. Sınırsızlık değildir, ama limit ve yakınsaklık konularını ileri seviyede ele alırız; burada odak noktamız genel terim ve indirgeme ilişkisidir. Şarkıyı bitirirken “an f n fonksiyonudur; rekürans an = g(an−1, an−2, …, ak)” şeklindeki basit ve hatırlatıcı bir dizi kuruyoruz. Böylece sınav sorularında genel terimi doğrudan okumak ve indirgeme verildiyse formülle ilerlemek daha kolay olur.