12 Sınıf Matematik İki eğri arasında kalan alanın belirli integralle hesabı şarkısı

12. sınıf matematikte bir eğrinin altında kalan alan tek eğrinin hesabıyken “iki eğri arasındaki alan” daha zengin bir problem alanıdır. İki fonksiyon f(x) ve g(x), bir [a,b] aralığı üzerinde tanımlı ve bu aralıkta birbirini kesmiyorsa, üstte kalan ile alttaki eğri arasındaki alan şu basit kuralla bulunur: A = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx. Gerçekte f(x) ≥ g(x) koşulunu sağlıyorsa, mutlak değer atılır ve alan ∫_a^b (üst fonksiyon − alt fonksiyon) dx ile hesaplanır. Bu birleştirme bize şarkımızda vurguladığımız gibi “üst eksi alt” kuralını anlatır. Eğer iki eğri [a,b] içinde birden fazla kez kesişiyorsa veya üst fonksiyon alışverişi yapıyorsa, aralık parçalara bölünür ve her bir parçanın alanı ayrı hesaplanıp toplanır. Pratikte önce kesişim noktalarını bulmak, sonra fonksiyonların sırasını (hangisi üstte) test etmek gerekir. Bu yaklaşım tek parça yerine parçalı integral kullanmanızı gerektirebilir. Simetri avantajı sağlar. Örneğin y² = x ile y = x eğrileri arasında kalan bölgenin alanı, y² = x ifadesinde x ≥ 0 olduğundan x = y² olur; burada fark fonksiyonu g(y) − f(y) y biçiminde alınarak ve y’ye göre entegre edilerek alan bulunabilir. Simetriden faydalanırken iki katını almayı unutmamak gerekir. Örnek 1: y = x² ve y = x + 2 eğrileri. Kesişimler x = −1 ve x = 2’de bulunur. [−1,2] aralığında y = x + 2 eğrisi yukarıda kalır. Alan A = ∫_{−1}^{2} [(x + 2) − x²] dx = [x²/2 + 2x − x³/3]_{−1}^{2} = 27/6’dır. Örnek 2: y = 2√x ve y = 1 + x/2. Kesişimler x = 1 ve x = 4’te. [1,4] aralığında 2√x üstte. A = ∫_{1}^{4} [2√x − (1 + x/2)] dx = (4/3)tₓ − (x/2 + x²/8) 1’den 4’e = 8/3 olur. Örnek 3: y² = 2x ve y = x eğrileriyle sınırlı alan. x = y² ve y = y biçiminde y’ye göre entegre edersek fark y − y² olur. Alan A = ∫_{0}^{2} (y − y²) dy + y = 0’dan 2’ye simetriyle 2 × (4/3) = 8/3. Örnek 4: Polar bölge için r = 4cosθ ile r = 4sinθ eğrileri arasındaki alan, θ ∈ [0, π/4] bölgesinde r = 4cosθ altta, r = 4sinθ üstte kalır. Alan A = 1/2 ∫_0^{π/4} [(4sinθ)² − (4cosθ)²] dθ = 16 ∫_0^{π/4} (sin²θ − cos²θ) dθ = 16 ∫_0^{π/4} (−cos2θ) dθ = 8π − 16 olur. Genel strateji: kesişim noktalarını bulun, üst–alt fonksiyonu belirleyin, aralığı parçalayın ve “üst − alt” kuralını kullanın. Fonksiyonlara göre x’e veya y’ye göre entegrasyonu doğru seçin. Polar koordinatlarda alan yarı ıle r² farkıdır. Pozitif sonuç elde edin; alan asla negatif olmaz.