12 Sınıf Matematik Noktanın ve şeklin ötelenmesi şarkısı v 2

12. Sınıf Matematik'te **ötelenme** (translation) isometri ailesinin en temel üyelerinden biridir: uzunluklar, açılar, alan ve hacim korunur; yön değişmez. Nokta, doğru, çokgen ve fonksiyon grafiklerinin hepsi bir ötelenme vektörüyle yeni konuma taşınır. Noktanın ötelenmesi - Bir P noktası v = (a, b) vektörü ile ötelenirse P' = (x + a, y + b) olur. - Örnek: P(–2, 7), v = (5, –3) → P' = (3, 4). Örneklerin yolunu sayı doğrusu üzerinde parmakla takip eder gibi canlandırırsak sonuçlar zihinde kalıcı hâle gelir. Şeklin ötelenmesi - Düzlemde bir şeklin tüm noktalarını aynı v = (a, b) ile toplayın; görüntü şeklindeki noktalar tümüyle ötelenmiş olur. - Doğru: y = mx + n doğrusu v = (p, q) ile ötelenirse y = m(x – p) + n + q → eğim değişmez, sadece kesim noktaları kayar. - Çokgen: bir üçgenin köşelerini tek tek öteleyip doğru parçalarını yeniden çizersiniz. Örneğin A(1, 2), B(5, 3), C(2, 6) noktaları v = (–4, 1) ile A'(–3, 3), B'(1, 4), C'(–2, 7) olur; üçgenin alanı değişmez. - Daire: Merkezi M(h, k), yarıçapı r olan daire v = (a, b) ile ötelenirse merkez M'(h + a, k + b) olur; yarıçap korunur. Fonksiyon grafiklerinin ötelenmesi - İçeriği yatay, dışarıyı dikey öteler. Kural: y = f(x) grafiği, - a > 0 için (x – a, y) ötelenirse g(x) = f(x – a) → a birim sağa, - (x + a, y) ötelenirse g(x) = f(x + a) → a birim sola, - (x, y + b) ötelenirse g(x) = f(x) + b → b birim yukarı, - (x, y – b) ötelenirse g(x) = f(x) – b → b birim aşağı. - Birleşik öteleme: 3 birim sağ, 2 birim yukarı → g(x) = f(x – 3) + 2. - Örnek: y = x^2 grafiği 1 birim sola, 4 birim yukarı → g(x) = (x + 1)^2 + 4. - Mutlak değer: y = |x – 3| + 1 grafiği V tepesini (3, 1) noktasına kaydırır; V'nin koordinatları fonksiyon dönüşümünün ipuçlarını verir. Uygulama: y = 2x + 1 doğrusu 5 birim aşağı, 3 birim sola ötelenirse - yatay: f(x) → f(x + 3) (sola 3), - dikey: sonucu – 5 (aşağı 5) → y' = 2(x + 3) + 1 – 5 = 2x + 2 → y = 2x + 2. Öteleme halkası ve ters öteleme - Ötelemeler bir halka oluşturur: T_u o T_v = T_{u+v}. - Ters öteleme: T_v⁻¹ = T_{–v}. Böylece her öteleme bir enjekte, biçimde ve tersi de ötelemedir. - Örnek: Vektör toplama: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Koordinat düzleminde “kaydır ve topla” tekniğiyle sonuçları çizimle desteklemek faydalıdır. Sık karıştırmalar ve çözümleri - Yatayda (x – a) → a birim sağ; (x + a) → a birim sol. “İçi” hatırlatması: parantezin içindeki işaret tersten okunur. - Dikeyde “+ b” → yukarı; “– b” → aşağı. “Dışı” hatırlatması: parantezin dışındaki işaret doğrudan uygulanır. - Kısa yol: v = (a, b) için yeni fonksiyon: g(x) = f(x – a) + b. Görsel ve işitsel destek - Vektör okunu uzaklık ve yönle çizmek, sonucu “kulağa” da yerleştirmek için şarkı bestesiyle pekiştirmek mümkün. Ritme uygun “sağa a, yukarı b” nakaratı; örnek alıştırmalarla sıralı tekrarlar öğrenmeyi hızlandırır.