6 Sınıf Matematik Doğal Sayıların Asal Çarpanları şarkısı v 2

Asal çarpan, bir doğal sayıyı yalnızca kendisine ve 1’e bölünen sayıların (yani asal sayıların) çarpımı olarak yazmaya denir. Bu işleme “asal çarpanlara ayırma” veya “asal çarpanlara açılım” deriz. Sayıları önce asal sayılarla “bölerek” ya da “çarpan ağacı” ile böleriz; en sonunda 1’e ulaştığımızda, kullandığımız asal sayılar o sayının asal çarpanlarıdır. Asal sayı, sadece 1 ve kendisiyle bölünebilen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … gibi sayılardır. 1 sayısı asal değildir; ne de birleşik sayıdır. 1’i asal çarpanlara ayırmaya çalışmayız çünkü asal çarpanı yoktur. İki temel yöntem vardır: 1) Bölerek yazma (kısa yol): - Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak böleriz, her bölmede bölüm sıfır olmazsa devam ederiz. - Her adımda bölümü yeniden böleriz. 1’e ulaşınca dururuz. Bölünen asal sayıların kümeleri bize asal çarpanları verir. - Örneklerle görelim: - 60: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1 → asal çarpanlar {2, 2, 3, 5}. Çarpım biçimi: 2 × 2 × 3 × 5. - 84: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1 → asal çarpanlar {2, 2, 3, 7}. Çarpım biçimi: 2 × 2 × 3 × 7. - 125: 125 ÷ 5 = 25, 25 ÷ 5 = 5, 5 ÷ 5 = 1 → asal çarpanlar {5, 5, 5}. Çarpım biçimi: 5 × 5 × 5 = 5³. 2) Çarpan ağacı: - Sayıyı önce uygun bir çarpanına böleriz (mutlaka asal olması gerekmez), sonra her yeni dalı da asal olan iki çarpana böleriz. En alt seviyede sadece asal sayılar kalır; bunlar asal çarpanlardır. - Örnek (60): - 60 = 6 × 10 - 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5 → asal çarpanlar 2, 2, 3, 5. Aynı sonuç. Üslü gösterim: - Aynı asal sayı birden fazla kez çıkarsa üslü biçimde yazarız: - 60 = 2² × 3 × 5 - 84 = 2² × 3 × 7 - 125 = 5³ Kontrol ve temel özellikler: - Asal çarpanlara ayırma, “En Büyük Ortak Bölen (EBOB)” ve “En Küçük Ortak Kat (EKOK)” hesaplarında kritik rol oynar. - 100 ve 180’i çarpanlarına ayıralım: - 100 = 2² × 5² - 180 = 2² × 3² × 5 - EBOB(100, 180): En küçük üsler: 2² × 5 = 20. - EKOK(100, 180): En büyük üsler: 2² × 3² × 5² = 900. Sık kullanılan kısa yollar: - 2 ile biten çift sayılar 2 ile bölünür (60, 84). - Rakamları toplamı 3 ile bölünen sayılar 3 ile bölünür (21, 36). - 5 ile biten sayılar 5 ile bölünür (25, 125). - 7 ve 11 gibi asal sayılarda kurala başvurmak yerine doğrudan bölerek ilerlemek daha pratiktir. Sınavda çıkan tipik örnekler: - 1’in asal çarpanları yoktur. - Asal sayılar (ör. 13) tek bir asal çarpan olarak kendilerine eşittir (13). - Üslü gösterimi okumak: 2³ × 5 → “2’nin küpü çarpı 5”. - 72: 72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1 → 2³ × 3². - 90: 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1 → 2 × 3² × 5. - 126: 126 ÷ 2 = 63, 63 ÷ 3 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1 → 2 × 3² × 7. - 150: 150 ÷ 2 = 75, 75 ÷ 3 = 25, 25 ÷ 5 = 5, 5 ÷ 5 = 1 → 2 × 3 × 5². - 144: 144 ÷ 2 = 72, 72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1 → 2⁴ × 3². Bu iki yöntemi bilmek, doğal sayıları asal çarpanlarına ayırmayı hem hızlı hem de hatasız yapmanızı sağlar.