7. Sınıf Matematik - Çokgenlerin Açı Ölçüleri Toplamı şarkısı (1)

Herkese merhaba! Bugün 7. sınıf matematikten çokgenlerin açı ölçüleri toplamını, eğlenceli ve akılda kalıcı bir şekilde ele alıyoruz. Çokgen, doğrularla çevrelenmiş düzlemsel bir şekildir; üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen gibi örnekler bilirsiniz. İç açı, çokgenin her köşesinde iki kenar arasında kalan açıdır; dış açı ise aynı köşede iç açının dış tarafındaki, kenarın uzantısıyla oluşan açıdır. Özellikle konveks (dış bükey) çokgenlerde bu kavramlar çok net görünür; iç açılar 180°’den küçük, dış açılar 180°’den küçük olur. Konkav (içbükey) çokgenlerde ise iç açılardan biri 180°’den büyük olabilir, fakat bugünkü formülümüz bu durumda da geçerlidir. İç açı toplamı için bir kuralımız var: n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı S = (n − 2) × 180°. Bu formülü niçin böyle diyoruz? Bir çakıyı örnek alalım: herhangi bir çokgeni köşelerden çizgi çekerek n − 2 tane üçgene bölerseniz, her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan toplam (n − 2) × 180° olur. Üçgen için n=3, S = 1×180° = 180°. Dörtgen için n=4, S = 2×180° = 360°; beşgen için n=5, S = 3×180° = 540°; altıgen için n=6, S = 4×180° = 720°. Bu değerleri şarkımızda kafanıza kazımak kolaydır. Şimdi düzenli (regular) çokgenlere bakalım. Düzenli çokgen tüm kenarları ve iç açıları eşittir. O hâlde bir iç açı m = S / n = ((n − 2) × 180°) / n olur. Örneğin düzenli beşgenin iç açısı 540° / 5 = 108°; düzenli altıgenin iç açısı 720° / 6 = 120°. Bu iki sayıyı şarkıda tekrarlayın, kalmayacak! Dış açılar için de pratik bir özellik var: herhangi bir düzlemsel çokgenin dış açılarının toplamı 360°’dir. Düzenli çokgenlerde her dış açı 360° / n olur. Örneğin düzenli pentagon için dış açı 72° olur; n=8 düzenli sekizgen için 360° / 8 = 45° olur. İç ve dış açıların bir köşede doğrusal çift oluşturduğunu unutmayın: iç açı + komşu dış açı = 180°. Bu yüzden m + 360°/n = 180° eşitliğiyle iç açıları doğrudan hesaplayabilirsiniz. Peki düzenli olmayan (düzensiz) çokgenlerde bir açıyı nasıl buluruz? Basit: önce toplamı bulun, sonra bilinen açıları çıkarın. Örnek: bir yedigenin bilinen beş açısı 110°, 125°, 100°, 90°, 130° ise yedigen için S = (7 − 2) × 180° = 900°. Bilinenlerin toplamı 110 + 125 + 100 + 90 + 130 = 555°. Kalan iki açıyı x ve y varsayarsak x + y = 900 − 555 = 345°. İki bilinmeyenli tek denklemde tüm değerler bulunamaz, fakat pratik durumlarda bir bilinmeyen verilir: örneğin x = 150° ise y = 195° olur. Bu, konkav bir köşe demektir. Kenarlar sayısını toplamdan veya bir dış açıdan bulma pratikleri sınavlarda sık gelir: S = (n − 2) × 180° ve dış açı 360°/n. Yine bir örnek: iç açı toplamı 1260° olan çokgen kaç kenarlıdır? 1260 = (n − 2) × 180 ⇒ n − 2 = 7 ⇒ n = 9. Düzenli birçokgenin bir dış açısı 36° ise n = 360°/36 = 10. Veya bir iç açısı 165° ise iç + dış = 180°’den dış 15° olur, yine n = 360°/15 = 24 olur. Basit, doğrudan, pratik. Unutmayın: konkav köşelerde bir iç açı 180°’den büyük olabilir, fakat toplam formülü değişmez. Düzenli olmayan çokgenlerde de tüm iç açılar toplamı (n − 2) × 180°’dir; yalnızca her birinin ölçüsü eşit değildir. Sorular çoğu kez şunu ister: toplamı bulun, bir açıyı bulun veya kenar sayısını bulun. Bu üç tipi şarkı ritmiyle pekiştirin, kalanları akıcı gelir.