7. Sınıf Matematik - Düzgün Çokgenlerin Kenar ve Açı Özellikleri şarkısı (1)

Bu videoda düzgün çokgenlerin kenar ve açı özelliklerini, ezberden çok anlamaya dayalı bir yolculukla ele alacağız. Düzgün çokgen, tüm kenarları eşit ve tüm iç açıları eşit olan çokgendir; eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen (pentagon) ve düzgün altıgen (hexagon) en sık karşılaştığımız örneklerdir. Bu özelliği sayesinde, bir düzgün çokgenin simetri eksenleri ve dönme simetrisi de düzenlidir. Örneğin karede 4 tane dönme simetrisi bulunurken (90°, 180°, 270°, 360°), düzgün altıgende 6 tane vardır. İç açılar konusunda önemli iki formül var: n kenarlı bir düzgün çokgenin iç açılarının toplamı (n − 2) × 180°’dir. Bu toplamı, çokgeni üçgenlere bölerek düşünmek kolaylaştırır: her n ≥ 3 için n − 2 tane üçgen elde edilir ve bu üçgenlerin açıları toplamı (n − 2) × 180° olur. Her bir iç açı eşit olduğu için tek bir iç açı ölçüsü (n − 2) × 180° / n’dir. Mesela düzgün beşgen için 3 × 180° / 5 = 108°, düzgün altıgen için 4 × 180° / 6 = 120° bulunur. Dış açılar ise çok daha sade bir mantık sunar: herhangi bir konveks çokgende dış açıların toplamı daima 360°’dir. Düzgün çokgende her dış açı 360° / n olur; beşgen için 72°, altıgen için 60°. İç ve dış açılar komşu, doğrusal tamamlayıcı ilişki içindedir: iç + dış = 180°. Dolayısıyla iç açıyı bulduktan sonra dış açıya, ya da dış açıdan iç açıya kısa bir hesapla geçebilirsiniz. Bir düzgün çokgenin merkezi, aynı zamanda iç teğet ve dış teğet çemberlerinin merkezidir. Çokgeni n eşit üçgene bölerek merkez açıları düşünürüz: her bir merkez açı 360° / n’dir. Bu eşkenar üçgenlerden birinin alanı için (1/2) × r × s formülü kullanılır; burada r çokgenin yarıçapı (merkezi köşelere birleştiren doğru) ve s kenardır. Tüm n üçgenin alanını toplarsak çokgenin alanı (n × s × r) / 2 olur. Sıkça duyacağınız apothem kavramı ise çokgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır ve iç açının dik bir dikeyidir; alanı sade ve güçlü biçimde yazan (n × s × a) / 2 formülü, buradan gelir. Apothem ile yarıçap arasında kısa bir trigonometrik ilişki de vardır: apothem = yarıçap × cos(180°/n) ve yarıçap = kenar / (2 × sin(180°/n)). Bu eşitlikler, çokgenin tam simetrisinin geometride nasıl düzenli bir düzene dönüştüğünü gösterir. Kenar uzunluğu sabitken, n arttıkça alan ve apothem de büyür; n’in sınırsız büyümesinde düzgün çokgen bir daireye yaklaşır, çünkü apothem ile yarıçap birbirine çok yaklaşır. Bu “süreklilik” fikri, matematiğin en zarif gözlemlerinden biridir. Kareyi düşünelim: iç açı 90°, dış açı 90°, merkez açı 90°; apothem kenarın yarısı kadar olur. Düzgün altıgende apothem ile kenar ilişkisi o kadar düzgündür ki, apothem tam olarak kenarın √3/2 katıdır; geometrinin ritmi adeta müzik gibi düzenli akmıştır. Son olarak, kısa bir şarkı çağrısı ile pekiştirelim: “Üçgen üç kenarlı, dört dışta döner, beş dışta yetmiş ikide durur, altı dışta altmış.” İç toplam (n − 2) × 180°, dış toplam 360°, iç açı (n − 2) × 180°/n, dış açı 360°/n; merkez açı 360°/n. Bu temel eşitlikleri bir kez kavradığınızda, çokgenlerle ilgili neredeyse tüm standart soruları kolayca çözersiniz.