7. Sınıf Matematik - Ters Orantılı Çoklukları Ayırt Etme şarkısı

Merhaba! Bu videoda 7. sınıf matematik konumuz “ters orantılı çoklukları ayırt etme” olacak. İki çokluktan biri artarken diğeri azalıyorsa, “ters orantı” olduğunu duyarız. Ama dikkat! Her azalma, ters orantı demek değildir. Ters orantının kesin tanımı şu: x ve y değişkenlerinin değerlerinin çarpımı sabit bir sayıdır (x·y = k, k ≠ 0). Başka bir deyişle, y, x’e ters orantılıdır; y = k/x yazılır. Örneğin x 2’ye katlanırsa (x → 2x), y yarıya inmek zorundadır (y → y/2). Bu kuralın istisnası yoktur: x hiçbir zaman 0 olamaz. Çünkü bölme sıfırla yapılamaz ve sabit değer k da tanımsız kalır. Ters orantı ile doğru orantıyı karıştırmamak gerekir. Doğru orantıda x arttıkça y de artar ve y = a·x yazılır. İş ve süre örneği en çok kullanılandır: Bir işi daha fazla işçiyle daha kısa sürede bitiririz. İş sabit kabul edilirse işçi sayısı arttıkça süre azalır. Bu, ters orantıya örnektir. Ama öğrenciler sık “fiyat–alınan miktar” örneğini doğru orantı olarak yorumlar: Fiyat sabitse daha fazla mal alınır ve toplam ödenen para artar; burada toplam ödenen para ile miktar doğru orantılıdır. Ters orantı değil. Tablo ve grafik ayırt etme tekniği de güçlü bir araçtır. Doğru orantının grafiği orijinden geçen bir doğru çizgisidir. Ters orantının grafiği ise iki ayrı parça halinde, orijinden uzak bir hiperbol (küresel eğri) olarak çizilir. x arttıkça y azalır ama asla sıfıra dokunmaz; sadece yaklaşır. Öğrenciler genellikle bu iki grafiği karıştırır. Şunu sıkça söylerim: “Grafik doğru mu, kıvrık mı? Doğru çizgiyse doğru orantı, kıvrık bir eğriyse ters orantı.” Çok pratik, unutmazlar. Formül tabanlı yöntem de işinizi kolaylaştırır. Verilen çokluklar (x, y) için x·y çarpımını hesaplayın. Eğer çarpım sabit kalıyorsa ters orantı vardır. Örneğin bir dairede yarıçapı değiştirip alanı inceleyelim: Alan = πr². r arttıkça alan artar ama alan ile r’nin çarpımı sabit kalmaz; alan r’ye değil r²’ye bağlıdır. Bu, doğru orantı da değildir; bu bir “kare oranı”dır. İşte öğrenciler burada yanılgıya düşer. Sormuş olsaydım: “İşçi sayısı–iş süresi” örneğini çıkaralım: 8 işçi 12 günde bitiriyorsa 12 işçi kaç günde biter? Önce k = 8·12 = 96 işçi·gün bulunur. Yeni süre = 96/12 = 8 gün. Bu tipik ters orantı sorusudur. Ters orantı için pratik ipuçlarını bir düğme gibi düşünün: 1) Çarpım sabit mi? (x·y = k) 2) Grafik hiperbol mü? 3) Bir tanesini iki katına çıkardığımda diğeri yarıya iniyor mu? Eğer üçü de evetse, ters orantıdır. Yine de “oran sabit mi” diye kontrol etmek gerekir. Ters orantıda oran sabit değil, çarpım sabittir. Doğru orantıda oran sabit, çarpım değişir. Özetle, ters orantılar dünya gibi bir terazidir: Bir taraf ağırlaşırken diğeri hafifler. Ama terazinin denge noktası sabit kalır: x·y = k. Bu “sabit denge”yi aklınızda tutarsanız, her durumda doğru yolu bulursunuz.