8. Sınıf Matematik - Benzer çokgenlerin benzerlik oranını belirleme şarkısı (1)

Benzer çokgenlerde aynı şekle sahip, fakat ölçüleri farklı iki (veya daha fazla) şekil vardır. Benzerliğin iki koşulu vardır: 1) Karşılıklı açılar eşittir (eşitlik sembolü üstünde ok kullanabilirsiniz: ≅ değil, ≅ benzerlik için kullanılır). 2) Karşılıklı kenarlar orantılıdır, yani aynı “katsayı” ile büyür veya küçülür. Bu katsayı benzerlik oranıdır ve genellikle k ile gösterilir. Eğer çokgenin her bir kenarı k katına çıkıyorsa, diğer kenarlar da aynı oranla büyür; dolayısıyla k tüm oranlarda ortak bir sayı olur. Bu yüzden benzerlik oranını herhangi bir çift karşılıklı kenardan hesaplayabiliriz. Nasıl hesaplarız? “Büyük şeklin kenarı” bölü “küçük şeklin kenarı” (veya tersini seçebilirsiniz; o zaman oran 1/k olur). Örneğin benzer iki kare düşünelim: büyük kenar 12 cm, küçük kenar 4 cm ise k = 12/4 = 3 olur. Demek ki büyük kare, küçük kareye göre 3 kat büyüktür. Eğer soru “küçük şeklin büyük şekle oranını” soruyorsa, 1/k = 1/3 yazarsınız. Bir başka örnekle pekiştirelim: benzer iki dikdörtgen. Büyüğün kenar çifti 24 cm ve 16 cm, küçüğünki 8 cm ve 6 cm ise oranlar 24/8 = 3 ve 16/6 ≈ 2,666 olur. Bu ikinci oran 2,666 çıktı; o zaman 24/8 = 3 ve 16/6 = 8/3. Aynı değil, yani bu iki dikdörtgen benzer değil çünkü karşılıklı kenarlar orantılı değil. Aynı oran elde edemediğimiz için benzerlik koşulu bozulur. Şimdi benzerlik oranını bildiğimizde başka ölçüleri nasıl buluruz? - Çevreler: İki benzer çokgenin çevrelerinin oranı, benzerlik oranıyla aynıdır. Yani P1/P2 = k. - Alanlar: İki benzer çokgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani A1/A2 = k². Örneğin benzer iki eşkenar üçgen, k = 5 ise çevreler oranı 5, alanlar oranı 25 olur. Yine kare örneğine dönersek: k = 3 ise büyük kare, küçük kareye göre 9 kat alan büyüktür. Benzer çokgenleri nasıl anlarız? Üçgenlerde çeşitli benzerlik kuralları vardır (AA, KAK, KKK), ancak beşgen gibi çokgenlerde en sağlam yol, karşılıklı açıların eşitliğini ve karşılıklı kenarların orantısını kontrol etmektir. Sorular genellikle şunları sorar: - Kenar uzunluklarından k’yı bulma, - İki benzer çokgenin alan oranı verilmişken çevre oranını bulma, - Aynı oranı birkaç farklı çiftle test edip benzerlik/doğrulama. Unutmayın: Benzerlik, “şekil benzeri” anlamına gelir; sadece bir kenar uzar veya bir açı farklı olursa benzerlik bozulur. Bir sürat bilgisi: k>1 büyüme, k<1 küçülme demektir. Ayrıca çokgenlerin aynı türde olması benzerlik için zorunlu değildir; örneğin her kare benzer, her eşkenar üçgen de benzer, fakat bir kare ile bir dikdörtgen her zaman benzer değildir—sadece oranları eşit olursa benzer olur.