8. Sınıf Matematik - Desen, motif gibi görsellerdeki öteleme ve yansımaları belirleme şarkısı (1)

Dönüşüm geometrisi, desenleri, motifleri ve geometrik şekilleri belirli kurallarla değiştiren kurallı işlemler bütünüdür. Bu kuralların en sık kullanılan türü “öteleme” (translation) ve “yansıma”dır (reflection). Desen ve motif oluşturma sürecinde, bir motifin ya da desenin tekrar düzenini anlamak için bu dönüşümleri tanımak ve analiz etmek çok değerlidir. Öteleme, şekli kaydırmak; yansıma ise bir doğruya (ya da noktaya) göre ayna görüntüsünü üretmektir. Desenlerin içindeki düzenlilik, çoğu kez bu dönüşümlerin düzenli biçimde yinelenmesiyle ortaya çıkar. Öteleme, tek bir vektörle tanımlanır. Örneğin T(a,b) ötelemesi, noktaları x ekseni yönünde a birim, y ekseni yönünde b birim kaydırır. Bir A noktası için A′ = A + (a,b) olur. Bu dönüşüm, büyüklük ve biçimi korur; uzunluk, açı ve doğrusal ilişkiler değişmez. Desenlerde “kareli” düzende, bitişik motifler arasındaki karşılık gelen iki noktayı birleştiren vektör, öteleme vektörünü verir. Örneğin, bir kareli kâğıtta bir desenin altı başka bir özdeş parçası 8 birim sağa, 3 birim yukarı kaydırılarak elde ediliyorsa, bu desenin öteleme simetrisi T(8,3) ile ifade edilir. Desenin en küçük tekrar birimi (bir cell veya temel motifi), tüm ötelemelerin “altında” birbirine eşit görünmesini sağlar. Yansıma, bir doğruya (eksene) göre yapılan simetridir. En yaygın eksenler y ekseni (x=0), x ekseni (y=0) ve y=x doğrusudur. Yansıma işleminde uzunluk ve açı korunur; fakat yön, yani yönelim değişir. Bir motif, yansıma eksenine göre aynı şekle sahip, ancak yönleri ters bir kopyasıyla eşleşiyorsa bu desenin yansıma simetrisi vardır. Örneğin, bir kalkan şeklini x ekseni üzerine yerleştirip kalkanın üst kısmı ile alt kısmı eşit ve simetrikse, desenin x eksenine göre yansıması kendisiyle örtüşür. Desenlerde ekseni belirlemek, tekrarın ne yönde yapıldığını anlamak için kritik bir adımdır. Desen ve motif oluşturma pratikte, iki temel strateji ile başlar. Birincisi, temel motifi seçip, öteleme vektörleriyle tekrar etmek: örneğin T(a,b) ve T(2a,0) gibi vektörlerle çoklu tekrar yapmak. Bu yöntem, kareli düzende düzenli örgüler (lattice) kurmanıza olanak verir. İkincisi, yansıma eksenleri eklemek: tek bir eksen üzerinden çift yönlü yansımalarla desenin simetrisini artırmak. Bu iki yaklaşım bir arada kullanıldığında, çok zengin desen repertuarı oluşur. Desenlerde sıkça karşılaşılan “kaymalı yansıma” (glide reflection) özel bir dönüşümdür: bir öteleme ile bir yansımanın bileşimidir. Örneğin, y eksenine göre yansıma ile x yönünde öteleme birleştiğinde, desen iki adımı bir arada yapar. Glide reflection’un karakteristik özelliği, bir tek başına yansıma veya öteleme değildir; ancak birlikte uygulandığında desenin düzenliliğini sürdürür. Uygulamada, eğer desen adımları x yönünde düzenli, fakat her biri y eksenine göre ters yöndeyse, bu durumda bir “kaymalı yansıma” vardır. Desen analizinde, bir motifin özdeş iki kopyasını karşılaştırdığınızda, biri yansıtılmış ve biraz ötelenmişse, muhtemelen glide reflection ile karşılaşıyorsunuzdur. Öteleme ve yansıma dönüşümlerinin etkilerini desenlerde sınamak için sistematik bir yöntem öneriyorum: 1) Desende bir motif seçin. 2) Aynı şeklin başka bir örneğini bulun. 3) Bu iki örneğin karşılıklı iki noktasını belirleyin (örneğin motifin en uç noktaları). 4) Eğer bu iki nokta arasında tek bir vektör varsa ve motif yön değiştirmiyorsa ötelemeyle eşleşir. 5) Eğer bir eksen üzerinden aynı uzaklıkta fakat ters yönlü görünüyorsa yansıma söz konusudur. 6) Eğer ters yönde ve aynı zamanda hafif bir kayma gözlemliyorsanız, glide reflection düşünülür. Bu yöntem, sınav ve uygulamalı çalışmalarda desen analizini hızlandırır.