8. Sınıf Matematik - Kareköklü bir ifadeyi ab şeklinde yazma şarkısı

Neden bir sayıyı a√b biçiminde yazmayı öğreniyoruz ve bu neden bu kadar önemlidir? İlk olarak, √k ifadesini açıklayalım: k'nin hangi sayının karesi olduğunu merak ederiz; eğer bir sayı kendisiyle çarpıldığında k’yi veriyorsa, o sayı k’nın kareköküdür. Kısa bir hatırlatma: √4 = 2, √9 = 3 ve √(a·b) = √a · √b gibi temel özellikler bizi yönlendirir. Peki, büyük sayılar altındaki karekökleri neden küçültürüz? Cevap net: işlemler daha kolay, kıyaslamalar daha hızlı ve sınav sorularında hata riskimiz azalır. A√b yazımında “a” karekök dışındaki çarpan, “b” ise karekök içindeki sayı olur. Aynı zamanda, kökün altındaki b’nin tam kare olmamasını, yani b’deki sayının asal çarpanları arasında 2, 3, 5, 7, 11 gibi kare üretmeyen faktörlerin bulunmasını hedefleriz. Şimdi adım adım yaklaşımı nasıl uygulayacağız? Önce kökün altındaki sayıyı çarpanlarına ayırıyoruz; ardından tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarıyoruz. Örneğin √(18) ifadesini sadeleştirelim: 18 = 9 × 2 ve √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2 olarak elde edilir. Benzer şekilde √(48) için 48 = 16 × 3 olduğundan √(16 × 3) = 4√3 bulunur. Daha karmaşık bir örnek olarak √(72) ele alalım: 72 = 36 × 2 olduğundan sonuç 6√2 olur; istersek 72 = 9 × 8 de yapabiliriz, ancak 8’in içindeki 4 tam kare olduğundan √8 = 2√2 ve 3 × 2√2 = 6√2 çıkar. Burada ana prensip, tam kareleri kök dışına alarak ifadeyi “a√b” biçimine dönüştürmektir. Peki ya paydasında kök bulunan kesirler nasıl düzenlenir? Örneğin 1/√2 ifadesini sadeleştirmek için pay ve paydayı √2 ile çarparak √2/2 elde ederiz. Aynı mantıkla 6/√3 için pay ve paydayı √3 ile çarparsak (6√3)/3 = 2√3 olur. Kök içindeki toplamı karekök biçiminde açmak da yaygındır; √(9 + 16) ≠ √9 + √16 olduğu için karekök içindeki toplamlar doğrudan toplama dönüşmez. Bu nedenle önce işlemler kök içinde tamamlanır, sonra sadeleştirme yapılır: √(9 + 16) = √25 = 5 olur. Bu yöntemleri tek seferde pekiştirelim. √(50) nasıl yazılır? 50 = 25 × 2 olduğundan sonuç 5√2’dir. √(200) için 200 = 100 × 2; √(100 × 2) = 10√2 çıkar. √(98) ise 98 = 49 × 2 olduğundan 7√2 bulunur. Aynı kök altındaki terimleri birleştirmek için 5√2 + 7√2 = (5 + 7)√2 = 12√2 yazabiliriz. Kıyaslama yapmak istediğimizde hangi büyüktür: √8 mi √18 mi? √8 = 2√2 ≈ 2 × 1.414 ≈ 2.828; √18 = 3√2 ≈ 3 × 1.414 ≈ 4.242 olduğundan √18 daha büyüktür. Son olarak, iki tam kare sayının toplamı başka bir tam kare olmayabilir; örneğin √(9 + 16) = 5 iken √(4 + 9) = √13’tür, bu yüzden kök içindeki toplamı karekök dışına çıkarmaya çalışmak yanlıştır.