8. Sınıf Matematik - Ondalık ifadelerin kareköklerini belirleme şarkısı (1)

Merhaba! Bugün 8. sınıf matematikte öğrendiğimiz “ondalık ifadelerin kareköklerini belirleme” konusunu bir şarkı eşliğinde ve bol örnekle işleyeceğiz. Karekök, “hangi sayının kendisiyle çarpıldığında verilen sayıyı verdiğini” bulmaya yarar. Örneğin 9’un karekökü 3’tür; çünkü 3·3 = 9. Ondalık sayılar (virgüllü sayılar) için de aynı mantık geçer, ancak sonuç çoğu zaman tam bir ondalık olmayabilir ve yaklaşık değer bulmamız gerekebilir. Bu derste iki büyük grupta ilerleyeceğiz: (i) ondalık bir sayı “tam kare” ise tam sonuç buluruz; (ii) değilse makul bir yaklaşım (yaklaşık değer) elde ederiz. Ondalık sayının tam kare olup olmadığını görmenin en pratik yollarından biri, sayıyı kesre çevirmektir. Örneğin 0,49 = 49/100. 49 = 7·7 ve 100 = 10·10 olduğundan √0,49 = √(49/100) = √49/√100 = 7/10 = 0,7 bulunur. İşte bu durumda sonuç tam bir ondalık olmuştur. Bir başka örnek: 0,0169 = 169/10 000. √169 = 13 ve √10 000 = 100 olduğundan √0,0169 = 13/100 = 0,13. Demek ki ondalık sayının pay ve paydası ayrı ayrı tam kare olduğunda sonuç da tam bir ondalık olur. İkinci durumda, ondalık sayı tam kare değilse sonuç genelde “irrasyonel”dir ve biz ondan bir yaklaşık değer isteriz. Burada da iki pratik yol kullanırız: (a) kesre çevirip basit yaklaşım yapmak, (b) bilinen tam karelerle sıkıştırma (çerçeveleme) yöntemi. 0,2’yi örnek alalım. 0,2 = 1/5. √(1/5) = 1/√5. 4 < 5 < 9 olduğundan √5 yaklaşık 2,236 olur (çünkü 2,236² ≈ 5). Dolayısıyla 1/√5 ≈ 1/2,236 ≈ 0,447 bulunur. Bu yöntem, ondalık sayıları bilinen tam karelerle sıkıştırarak sonuca varmamızı sağlar. Sıkıştırma yöntemi şu şekilde çalışır: x sayısının karekökü için a² ≤ x ≤ b² koşulunu sağlayan en yakın tam kareler a² ve b² seçilir. Bu, sayının karekökünün a ile b arasında olduğunu bildirir. Örneğin √0,4 için 0,36 ≤ 0,4 ≤ 0,49 olduğundan √0,4 sayısı 0,6 ile 0,7 arasındadır. Daha hassas bir değer isteyelim: 0,6² = 0,36; 0,64² = 0,4096; 0,63² = 0,3969. 0,3969 < 0,4 < 0,4096 olduğundan √0,4 ≈ 0,63–0,64 arasındadır; daha iyi yaklaşım 0,632… civarıdır. Bu yaklaşımı test ederken sayının karesini alıp kıyaslama yapmak gerekir. Karekök işleminde temel kurallar çok işimize yarar: - √(a·b) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b - √(a²) = |a|, yani karekök her zaman negatif olmayan bir değer verir - Çarpanlara ayırma: √18 = √(9·2) = 3√2; bu kural kesirlerde de geçerlidir: √(18/50) = √(9·2)/(25·2) = 3√2/(5√2) = 3/5 = 0,6 gibi. Bir ondalık sayının ondalık açılımının tekrar eden (tekrarlı) kısmı varsa, karekökün davranışı daha karmaşık olabilir. 0,4444… = 4/9 gibi basit tekrarlayan ondalıklar kesre dönüştürülebilir ve tam kare olup olmadığına göre tam sonuç veya yaklaşım bulunur. √(4/9) = 2/3 ≈ 0,6666… bulunur. Bilimsel hesap makinesi kullandığımızda √0,2 ≈ 0,4472136; √0,4 ≈ 0,6324555; √0,5 ≈ 0,7071067; √0,8 ≈ 0,8944272 gibi değerler elde ederiz. Bizim sınıfta ise “yaklaşık değer” yeterlidir; bu yüzden çerçeveleme, basit kesirler ve test etme (kare alma) yöntemlerini iyi kavramalıyız. Son olarak, iki küçük ipucu: (i) Ondalık sayıyı kesre dönüştürüp pay ve paydadaki tam kareleri çıkarırsan sonuç daha net görünür. (ii) Her zaman sonucun pozitif olması gerektiğini unutma; karekök fonksiyonu negatif değer vermez. Şimdi bu adımları şarkımızın ritmiyle pekiştirip birkaç örnekle pratik yapalım!