8. Sınıf Matematik - Tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi iki doğal sayı arasında olduğun

Karekök nedir ve hangi iki doğal sayı arasındadır? Konunun ana fikri şu: Eğer bir sayı tam kare değilse, onun karekökü iki ardışık doğal sayı arasında yer alır. Bu sayıları yaklaşık değerlerle belirleyebiliriz ve birçok pratik durumda bu yeterli olur. Peki bunu neden bilmeliyiz? Çünkü ölçme, planlama ve hatta sınavlarda yaklaşık değerleri hızlıca bulmamız gerekir. Önce temel kavramları netleştirelim. “a sayısının karekökü” demek, karesi a olan sayı demektir. Örneğin 64 tam karedir çünkü 8² = 64. O hâlde √64 = 8. Ancak 60 tam kare değil; yaklaşık değeri 7.746 gibi bir ondalıklı sayı. Bu durumda 7² = 49 ve 8² = 64 olduğu için 60’ın karekökü 7 ile 8 arasındadır. Genel kural şu: Bir sayı n² ile (n+1)² arasındaysa karekökü n ile n+1 arasındadır. Sıradaki soru: Bu sınırları nasıl buluruz? Yöntem oldukça pratik: 1) Sayıyı (bu sayıya S diyelim) tam karelerle karşılaştırın. Birkaç örnek: - 27 için: 5² = 25, 6² = 36 olduğundan √27 5 ile 6 arasındadır. - 84 için: 9² = 81, 10² = 100 olduğundan √84 9 ile 10 arasındadır. - 150 için: 12² = 144, 13² = 169 olduğundan √150 12 ile 13 arasındadır. 2) Her defasında S > n² ve S < (n+1)² eşitsizliklerini kontrol edin. Eğer bu koşullar sağlanıyorsa n < √S < n+1 olmuştur. Basit bir hayat hikâyesi: 36 sandalye satın alıp kare bir salon düzenlemek istiyorsunuz. Her yan eşit olacak şekilde yerleştirmek gerekir. 36 = 6² olduğundan tam kare; her kenarda 6 sandalye. Eğer 37 sandalyeniz varsa, kare şekli bozulur ve 6 ile 7 arasında bir değerle (yaklaşık 6.08) çalışmanız gerekir. Görünürde küçük farklar, gerçek yaşamda planlamayı etkiler. Yaklaşık değer için şu küçük farkı hatırlayın: (n+0.1)² = n² + 0.2n + 0.01. Bu formül, karekökü yüzde 1’lik adımlarla sıkıştırmaya yarar. Örneğin 60 için 7.7² = 59.29 ve 7.8² = 60.84 olduğundan √60 yaklaşık 7.746, yani 7 ile 8 arasında. Hızlı bir günlük örnek: 80 şeker satın alıp kutuları kare bir vitrinde göstermek istiyorsunuz. 8² = 64, 9² = 81 olduğundan √80 yaklaşık 8.944, yani 8 ile 9 arasında. Yani 8x8 tablo eksik, 9x9 tablo biraz taşacak; pratikte 8.94 civarında bir düzen kurulur. Ne zaman hangi yöntemi kullanmalı? Eğer sayıyı bir iki tam kare ile rahatça karşılaştırabiliyorsanız, sınırları aynı dakikada bulursunuz. Yaklaşık değer istiyorsanız, n±0.1 adımlarını deneyin. Sınavda hız gerekiyorsa, tam kare tablolarını ezberleyip (örneğin 1–20’nin kareleri), sayıları bu tabloların arasına yerleştirmek en pratik yol olacaktır.