9 Sınıf Matematik Üçgenin çeşidine göre yüksekliklerinin kesiştiği noktanın konumunu be v 2

Üçgenlerin yükseklikleri nereden geçer ve kesişim noktası nerede olur? Konunun özünü bir cümleyle yakalayalım: Bir üçgenin tüm yükseklikleri daima tek bir noktada kesişir; bu noktaya “yükseklik merkezi” veya “diklik merkezi” denir ve matematikte genellikle H harfiyle gösterilir. Peki, bu kesişim noktası üçgenin içinde mi, dışında mı? Cevabı, üçgenin türüne bağlıdır! Üçgenin çeşidine göre diklik merkezi nerede bulunur? - Dar açılı (akut) üçgende: Bütün açılar 90°’den küçüktür; her bir yükseklik karşı kenarı üzerinde “dik” olarak indiği için H noktası üçgenin içinde kalır. - Geniş açılı (obtüz) üçgende: En az bir açı 90°’den büyüktür; o köşedeki yükseklik, karşı kenarı üzerine indirilince kesişim noktası üçgenin dışında kalır. Diklik merkezi, geniş açının karşısındaki kenara göre üçgenin dış bölgesinde oluşur. - Dik üçgende: Bir açı 90°’dir; bu durumda diklik merkezi, dik açının bulunduğu köşe üzerinde yer alır. Neden? Çünkü iki dik kenar, zaten birbirine dik olduğundan o köşeye çizilen yükseklik, doğrudan o kenarın uzantısıdır ve kesişim noktası bu köşenin kendisidir. Önemli ayrım: “Çevrel merkez” (O) ile “diklik merkezi” (H) aynı değildir! Çevrel merkez, üçgenin köşelerinden geçen çevrel çemberin merkezidir ve üçgenin türüne göre konumu değişir: Dar açılı üçgende O içeride, geniş açılı üçgende O dışarıda, dik üçgende O hipotenüsün orta noktasındadır. H ve O farklı noktalardır; fakat Euler doğrusu üzerinde yer alırlar. Koordinat düzleminde hesaplama yapalım: - Açıları ölçmek yerine doğruların eğimini kullanabiliriz. - Bir doğrunun dik doğrusunun eğimi, verilen eğimin negatif tersidir (m1 · m2 = −1). - Örneğin A(0,0), B(8,0) ve C(0,6) üçgeninde AB yataydır (eğim 0); C’den AB’ye çizilen yükseklik C’den AB’ye dik olduğu için dikey, yani x sabit x=0. AC dikey olduğundan B’den AC’ye çizilen yükseklik yatay, yani y sabit y=0. İki yükseklik (x=0 ve y=0) orijinde kesişir; bu da dik açının bulunduğu köşedir. Dolayısıyla H = A = (0,0). Son önemli kural: Üçgenin bir yüksekliği karşı kenarı kesemediğinde (geniş açı varsa), o kenarın uzantısını düşünürüz; yani yükseklikleri, gerektiğinde “doğru” boyunca uzatarak kesişim noktasını buluruz. Bu nokta her durumda tek ve tektir.